Question

一個三角形數(shù)表按如下方式構(gòu)成（如圖：其中項數(shù)）：第一行是以4為首項，4為公差的等差數(shù)列，從第二行起，每一個數(shù)是其肩上兩個數(shù)的和，例如：；為數(shù)表中第行的第個數(shù)．
求第2行和第3行的通項公式和；
證明：數(shù)表中除最后2行外每一行的數(shù)都依次成等差數(shù)列，并求關(guān)于（）的表達(dá)式；
（3）若，，試求一個等比數(shù)列，使得，且對于任意的，均存在實數(shù)?，當(dāng)時，都有．

Answer 1

(1),；（2）證明見解析，；（3）．

試題分析：（1）根據(jù)定義，，因此
，；（2）由于第行的數(shù)依賴于第的數(shù)，因此我們可用數(shù)學(xué)歸納法證明，設(shè)第行的公差為，
，而
，從而，即，于是有，由此可求得；（3）由（2）得，所以，那么可得，
，由于下面要求和，我們把變形為，為了能求和，我們可首先取，這樣可得，，且當(dāng)時，．因此當(dāng)時，不等式，必定有解，取其中一個為即可．
試題解析：（1）
． （3分）
（2）由已知，第一行是等差數(shù)列，假設(shè)第行是以為公差的等差數(shù)列，則由
（常數(shù)）知第行的數(shù)也依次成等差數(shù)列，且其公差為.綜上可得，數(shù)表中除最后2行以外每一行都成等差數(shù)列；   （7分）
由于，所以，所以
，由，
得，            （9分）
于是 ，
即，又因為，所以，數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列， 所以，，所以（）．   （12分）
（3） ，
，
令，      （14分）
．     （15分）
，
，
，
令，則當(dāng)時，都有，
適合題設(shè)的一個等比數(shù)列為．           （18分）