Question

設二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）滿足：當x=1時，f（x）取得最小值1，且f(0)=

3

2

．
（1）求a、b、c的值；
（2）是否存在實數m，n，使x∈[m，n]時，函數的值域也是[m，n]？若存在，則求出這樣的實數m，n；若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0），當x=1時，f（x）取得最小值1，且f(0)=

3

2

．我們可知函數的圖象是開方方向朝上的拋物線且以（1，1）為頂點，且過（0，

3

2

）點，由此可以構造關于a，b，c的方程組，解方程組，即可得到答案．
（2）由（1）中的結論，我們易函數的角析式及函數的值域，進而得到n＞m≥1，則f（x）在區間[m，n]上單調增，則x∈[m，n]時，函數的值域也是[m，n]可轉化為方程f（x）=x，有兩個不小于1的不等實根，由此可在得到對應m，n的值．

解答：解：（1）由題意，得：

a＞0 - b 2a =1 f(1)=a+b+c=1 f(0)=c= 3 2

（4分）
解之得：a=

1

2

，b=-1，c=

3

2

，（7分）
（2）∴f(x)=

1

2

x2-x+

3

2

=

1

2

(x-1)2+1（8分）
從而，f（x）的單調遞增區間為（1，+∞）（10分）
由f（x）取得最小值1，得1≤m＜n，（11分）
所以，f（x）在區間[m，n]上單調增，（12分）
故

f(m)=m f(n)=n

（13分）
即m，n是方程f（x）=x，即

1

2

x2-2x+

3

2

=0的兩不小于1的不等實根，┉┉（15分）
∴m=1，n=3（16分）

點評：本題考查的知識點是二次函數的性質，函數的定義域及其求法，函數的值域，函數的最值及其幾何意義，其中熟練掌握二次函數的圖象和性質，以及二次函數各系數的作用是解答本題的關鍵．