Question

已知：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，棱長AA₁=2，
（1）E為棱CC₁的中點，求證：B₁D₁⊥AE；
（2）求：二面角C-AE-B的平面角的正切值；
（3）求：點D₁到平面EAB的距離．

Answer 1

分析：（1）連接A₁C₁，根據正方體的結構特征得到A₁C₁是AE在平面A₁C₁上的射影，進而根據三垂線定理得到B₁D₁⊥AE．
（2）連接BD交AC于O，過B點作BF⊥AE交AE于F，連接OF，可得∠BFO是二面角B-AE-C的平面角，根據相似三角形性質求出OF后，解三角形BOF即可，得到二面角B-AE-C的平面角
（3）過C₁作C₁G⊥BE交BE的延長線于G，可證得D₁C₁∥平面ABE，即D₁到平面ABE的距離等于C₁到平面ABE的距離，即C₁G長，根據相似三角形的性質，可求出點D₁到平面EAB的距離

解答：解：（1）證明：連接A₁C₁，
∵AA₁⊥平面A₁C₁，
∴A₁C₁是AE在平面A₁C₁上的射影，
在正方形A₁B₁C₁D₁中，B₁D₁⊥A₁C₁
∴B₁D₁⊥AE
（2）連接BD交AC于O，過B點作BF⊥AE交AE于F，連接OF
∵EC⊥平面AC在正方形ABCD中，BD⊥AC，∴BD⊥平面ACE
∴OF是BF在平面EAC上的射影，∴AE⊥FO∴∠BFO是二面角B-AE-C的平面角
在正方形ABCD中，BO=AO=

1

2

AC=

2

在Rt△ACE中，AE=3，∵△AOF∽△AEC，
∴

OA

OF

=

AE

EC

∴OF=

OA•EC

AE

=

2

3

在Rt△BOF中，tan∠BFO=

OB

OF

=3
（3）過C₁作C₁G⊥BE交BE的延長線于G，∵AB⊥平面BC₁，G₁G?平面BC₁，
∴AB⊥C₁G，∴C₁G⊥平面ABE，
∵D₁C₁∥AB，D₁C₁?平面ABE，
∴D₁C₁∥平面ABE，
∴D₁到平面ABE的距離等于C₁到平面ABE的距離
∵△C₁GE∽△BCE，
∴C₁G：C₁E=BC：BE，
∴C₁G=

BC•C1E

BE

=

2 5

5

∴D₁到面ABE的距離等于

2 5

5

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，點到平面的距離，線線垂直的判定，其中（1）的關鍵是用三垂線定理證明線線垂直，（2）的關鍵是確定∠BFO是二面角B-AE-C的平面角，（3）的關鍵是證得D₁到平面ABE的距離等于C₁到平面ABE的距離．