Question

【題目】已知各項都是正數的數列的前項和為，且，數列滿足，.

（1）求數列、的通項公式；

（2）設數列滿足，求和；

（3）是否存在正整數，，，使得，，成等差數列？若存在，求出所有滿足要求的，，，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）存在或，，滿足要求.

【解析】試題分析：

（1）由遞推關系可得，則，是等差數列，其中公差為1，且，通項公式為，數列是等比數列，其中首項為，公比為，故.

（2）結合(1)的結論可得，則，

（3）假設存在正整數，使得成等差數列，則，

而數列從第二項起單調遞減，分類討論：

當時，，若，無解；若，符合要求，若，無解； 故，此時，可得，.

試題解析：

（1）①，②，

②-①得：，即，

因為是正數數列，所以，即，

所以是等差數列，其中公差為1，

在中，令，得，

所以，

由得，

所以數列是等比數列，其中首項為，公比為，

所以.

（2），裂項得，

所以，

（3）假設存在正整數，使得成等差數列，則，即，

因為，所以數列從第二項起單調遞減，

當時，，

若，則，此時無解；

若，則，因為從第二項起遞減，故，所以符合要求，

若，則，即，不符合要求，此時無解；

當時，一定有，否則若，則，即，矛盾，

所以，此時，令，則，所以，，

綜上得：存在或，，滿足要求.