【題目】已知
為坐標原點，橢圓
： 
的左焦點是
，離心率為
，且
上任意一點
到
的最短距離為
.
（1）求
的方程；
（2）過點
的直線
（不過原點）與
交于兩點
、
， 
為線段
的中點.
（i）證明：直線
與
的斜率乘積為定值；
（ii）求
面積的最大值及此時
的斜率.
【答案】（1）
；（2）（i）見解析；（ii）
面積的最大值是
，此時
的斜率為
.
【解析】試題分析：（1）由題設可以得到關于
的方程組為
，從而
，故
，所以橢圓
的方程為
.（2）設直線
為： 
， 
， 
， 
，聯立直線的方程和橢圓的方程并消元后可以得到
，利用韋達定理得到
，故
，從而
為定值.利用弦長公式和點到直線的距離可得
，令
，從而
，最后利用基本不等式可以得到面積的最大值為
且此時
也就是
.
解析：（1）由題意得
，解得
，∴
， 
，∴橢圓
的方程為
.
（2）（i）設直線
為： 
， 
， 
， 
，由題意得
，
∴
，∴
，即
，由韋達定理得： 
， 
，∴
， 
，∴
，∴
，∴直線
與
的斜率乘積為定值.
（ii）由（i）可知： 
，又點
到直線
的距離
，
∴
的面積
，令
，則
，∴
，當且僅當
時等號成立，此時
，且滿足
，∴
面積的最大值是
，此時
的斜率為
.
計算高手系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，三棱柱
中，側面
是邊長為2的菱形，且
， 
，四棱錐
的體積為2，點
在平面
內的正投影為
，且
在
上，點
在線段
上，且
．
（Ⅰ）證明：直線
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某廠家舉行大型的促銷活動，經測算某產品當促銷費用為
萬元時，銷售量
萬件滿足
（其中
， 
為正常數），現假定生產量與銷售量相等，已知生產該產品
萬件還需投入成本
萬元（不含促銷費用），產品的銷售價格定為
萬元/萬件.
（1）將該產品的利潤
萬元表示為促銷費用
萬元的函數；
（2）促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，等邊三角形
的邊長為
，且其
三個頂點均在拋物線
上.
（Ⅰ）求拋物線
的方程；
（Ⅱ）設動直線
與拋物線
相切于點
，與直線
相交于點
.證明以
為直徑的圓恒過
軸上某定點.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一裝有水的直三棱柱ABC-A1B1C1容器(厚度忽略不計),上下底面均為邊長為5的正三角形,側棱為10,側面AA1B1B水平放置,如圖所示,點D、E、F、G分別在棱CA、CB、C1B1、C1A1上,水面恰好過點D，E，F，C,且CD=2
(1)證明:DE∥AB;
(Ⅱ)若底面ABC水平放置時,求水面的高
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖,某大型景區有兩條直線型觀光路線
， 
,
,點
位于
的平分線上，且與頂點
相距1公里.現準備過點
安裝一直線型隔離網
(
分別在
和
上)，圍出三角形區域
，且
和
都不超過5公里.設
， 
(單位：公里).
（Ⅰ）求
的關系式；
（Ⅱ）景區需要對兩個三角形區域
， 
進行綠化.經測算， 
區城每平方公里的綠化費用是
區域的兩倍，試確定
的值,使得所需的總費用最少.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓
： 
的左、右焦點分別為
，上頂點為A，過點A與
垂直的直線交
軸負半軸于點
，且
，若過
， 
， 
三點的圓恰好與直線
相切．過定點
的直線
與橢圓
交于
， 
兩點（點
在點
， 
之間）．
（Ⅰ）求橢圓
的方程；（Ⅱ）若實數
滿足
，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4—4:坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy 中，曲線C的參數方程為
(
是參數,0≤
≤π),以O 為極點,以x 軸的正半軸為極軸,建立極坐標系.
(Ⅰ)求曲線C 的極坐標方程；
(Ⅱ)直線l1,的極坐標方程是2psin(θ+
)+
=0,直線l2:θ =
與曲線C的交點為P，與直線l1的交點為Q,求線段PQ的長.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司租賃甲、乙兩種設備生產A，B兩類產品，甲種設備每天能生產A類產品5件和B類產品10件，乙種設備每天能生產A類產品6件和B類產品20件。已知設備甲每天的租賃費為200元，設備乙每天的租賃費為300元，現該公司至少要生產A類產品50件，B類產品140件，所需租賃費最少為多少元？
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