Question

如圖，正三棱錐ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為a，側棱長為a，M是A₁B₁的中點．
（I）求證：是平面ABB₁A₁的一個法向量；
（II）求AC₁與側面ABB₁A₁所成的角．

Answer 1

【答案】分析：（I）以點A為坐標原點，平面ABC為xoy平面，方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系，利用向量法能夠證明是平面ABB₁A₁的一個法向量；
（II）由=，=，=，，能夠求出AC₁與側面ABB₁A₁所成的角．
解答：解：（I）如圖，以點A為坐標原點，平面ABC為xoy平面，
方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（a，0，0），，
M（，
所以=（a，0，0），=．…（5分）
因為，，
所以MC₁⊥AB，MC₁⊥BB₁，
從而MC₁⊥平面ABB₁A₁．
故是平面ABB₁A₁的一個法向量．…（9分）
（II）=．
因為=，
又因為=，，
所以，即．…（13分）
故AC₁與側面ABB₁A₁所成的角為30°．…（14分）
點評：本題考查平面的法向量的證明，考查直線與平面所成角的大小的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．