Question

已知圓x²+（y-1）²=2上任一點P（x，y），其坐標均使得不等式x+y+m≥0恒成立，則實數m的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：把已知的不等式恒成立即m≥-x-y恒成立，即m要大于等于-x-y的最大值，求-x-y的最大值的方法是：因為P為圓上的一點，所以P的坐標滿足圓的方程，給圓的方程兩邊除以2后，利用

a2+b2

2

≥(

a+b

2

)2即可得到x+y-1的范圍，然后求出-x-y的范圍即可得到-x-y的最大值，令m大于等于這個最大值，即可得到滿足題意的m的范圍．

解答：解：∵x+y+m≥0，即m≥-x-y恒成立，∴只須求出-x-y的最大值即可
將圓x²+（y-1）²=2的方程兩邊同時除以2，得
1=

x2+(y-1)2

2

≥(

x+y-1

2

)2
∴（x+y-1）²≤4，解得-2≤x+y-1≤2，即-1≤x+y≤3，
∴-3≤-x-y≤1，
∴-x-y的最大值是1，
則m≥1，
所以實數m的取值范圍是[1，+∞）．

點評：此題考查學生掌握不等式恒成立時所滿足的條件，會利用基本不等式求函數的最值，是一道綜合題．