Question

【題目】某集團公司為了獲得更大的收益，決定以后每年投入一筆資金用于廣告促銷．經過市場調查，每年投入廣告費t百萬元，可增加銷售額約（2t+ ﹣ ）百萬元（t≥0）．
（1）若公司當年新增收益不少于1.5百萬元，求每年投放廣告費至少多少百萬元？
（2）現公司準備投入6百萬元分別用于當年廣告費和新產品開發，經預測，每投入新產品開發費x百萬元，可增加銷售額約（ +3x+ ）百萬元，問如何分配這筆資金，使該公司獲得新增收益最大？（新增收益=新增銷售額﹣投入）

Answer 1

【答案】
（1）解：設投入t（t百萬元）的廣告費后增加的收益為f（t）（百萬元），

則有f（t）=（﹣t2+5t）﹣t=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4（0＜t≤3），

所以當t=2百萬元時，f（t）取得最大值4百萬元．

即投入2百萬元時的廣告費時，該公司由此獲得的收益最大

（2）解：設投入新產品開發費x百萬元（0≤x≤6），則用于當年廣告費為（6﹣x）（百萬元），

則獲得新增收益為g（x）= +3x+ +2（6﹣x）+ ﹣ ﹣6= +x+

=﹣[ +（8﹣x）]+ + = ，

當且僅當 =8﹣x，即x﹣4時，g（x）有最大值 ．

即將4百萬元用于新產品開發，2百萬元用于廣告費，該公司由此獲得的收益最大

【解析】（1）設投入t（t百萬元）的廣告費后增加的收益為f（t）（百萬元），則有f（t）=（﹣t2+5t）﹣t=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4（0＜t≤3），由二次函數法求得最大值．（2）根據題意，投入新產品開發費x百萬元（0≤x≤6），則用于當年廣告費為（6﹣x）（百萬元），則獲得新增收益為g（x）= +3x+ +2（6﹣x）+ ﹣ ﹣6= +x+ ，利用基本不等式，即可得出結論．
【考點精析】利用基本不等式在最值問題中的應用對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”．