Question

已知函數.()
（1）當時，試確定函數在其定義域內的單調性；
（2）求函數在上的最小值；
（3）試證明：.

Answer 1

（1）當時，，，
則，                1分
∵當時，，當時，
∴函數在上單調遞減，在上單調遞增。         3分
（2）∵，
①當時，∵，∴
函數在上單調遞減，∴           5分
②當時，令得
當即時，對，有；即函數在上單調遞減；
對，有，即函數在上單調遞增；
∴；            7分
當即時，對有，即函數在上單調遞減；
∴；               8分
綜上得            9分
（3）注意，
令，（）則，
∴要證只需證（），

試題分析：（1）當時，，，
則，                1分
∵當時，，當時，
∴函數在上單調遞減，在上單調遞增。         3分
（2）∵，
①當時，∵，∴
函數在上單調遞減，∴           5分
②當時，令得
當即時，對，有；即函數在上單調遞減；
對，有，即函數在上單調遞增；
∴；            7分
當即時，對有，即函數在上單調遞減；
∴；               8分
綜上得            9分
（3），          10分
令，（）則，
∴要證只需證（），        12分
由（1）知當時，
∴，即，         13分
∵，∴上式取不到等號
即，∴.               14分
點評：典型題，利用導數研究函數的單調性、極值、最值，是導數的應用中的基本問題。本題（III）應用分析法證明不等式，通過構造函數，確定函數的最值，使問題得解。本題總體難度較大。