Question

【題目】如圖，在直三棱柱中， ， ，點分別為的中點.

（1）證明： 平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）連接， ，點， 分別為， 的中點，可得為 △的一條中位線， ，由線面平行的判定定理可得結論；（2）先利用勾股定理證明，由題意以點 為坐標原點， 為軸， 為 軸， 為 軸建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的一個法向量，根據空間向量夾角余弦公式，可得結果；

試題解析：（1）證明：連接，，點，分別為， 的中點，所以為△的一條中位線， ，

平面， 平面，

所以平面.

（2）設，則，， ，

由，得，解得，

由題意以點為坐標原點，為軸，為軸，

為軸建立空間直角坐標系.

可得，，，，

故，， ， ，

設為平面的一個法向量，則

，得，同理可得平面的一個法向量為，

設二面角的平面角為，

，

，

所以，二面角的余弦值為.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.