Question

已知函數f（x）=lnx+ax²+bx
（1）若曲線y=f（x），在點（1，f（1））處的切線與圓x²+y²=1相切，求b取值范圍；
（2）若2a+b+1=0，討論函數的單調性；
（3）證明：2+

3

22

+

4

32

+…

n+1

n2

＞1n（n+1）（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）利用導數的幾何意義即可得出切線方程，再利用直線與圓相切的性質即可得出a，b的關系，再利用判別式即可得出b的取值范圍；
（2）利用導數的運算法則可得f′（x），通過對b分類討論即可得出其單調性；
（3）利用（2）的結論，取b=1時可得f（x）在x＞1是單調遞減，可得f（x）＜f（1），進而得到ln(n+1)-lnn＜

n+1

n2

．利用累加求和即可得出．

解答：解：（1）∵f′(x)=

1

x

+2ax+b(x＞0)，∴f′（1）=1+2a+b，
其切線方程為y-（a+b）=（1+2a+b）（x-1），即（1+2a+b）x-y-1-a=0．
由切線與圓x²+y²=1相切可得

|1+a|

(1+2a+b)2+1

=1
化為3a²+（2+4b）a+b²+2b+1=0，此方程有解，∴△=（2+4b）²-12（b²+2b+1）≥0，解得b≥1+

3

或b≤1-

3

．
（2）∵2a+b+1=0，∴2a=-1-b，∴f′(x)=

1

x

-(1+b)x+b=

-[(1+b)x+1](x-1)

x

（x＞0）．
①b=-1時，f′(x)=

-(x-1)

x

，由f′（x）＞0解得0＜x＜1，函數f（x）單調遞增；由f′（x）＜0，解得x＞1，函數f（x）單調遞減．
②當-2＜b＜-1時，

-1

1+b

＞1，由f′（x）＞0解得1＜x＜

-1

1+b

，函數f（x）單調遞增；
由f′（x）＜0，解得x＞

-1

1+b

或0＜x＜1，函數f（x）單調遞減．
③當b＜-2時，0＜

-1

1+b

＜1，由f′（x）＞0解得

-1

1+b

＜x＜1，函數f（x）單調遞增；
由f′（x）＜0，解得x＞1或0＜x＜-

1

1+b

，函數f（x）單調遞減．
④當b＞-1時，

-1

1+b

＜0，由f′（x）＞0解得0＜x＜1，函數f（x）單調遞增；
由f′（x）＜0，解得x＞1，函數f（x）單調遞減．
（3）由（2）可知：當b=1時，當x＞1時，函數f（x）單調遞減．
∴f（x）＜f（1），即lnx-x²+x＜0，令x=1+

1

n

，可得ln(n+1)-lnn＜

n+1

n2

．
∴ln（n+1）=[ln（n+1）-lnn]+[lnn-ln（n-1）]+…+[ln2-ln1]+ln1＜

n+1

n2

+

n

(n-1)2

+…+

2

1

+0，
即2+

3

22

+

4

32

+…+

n+1

n2

＞ln(n+1)．

點評：熟練掌握導數的幾何意義、切線方程、直線與圓相切的性質、點到直線的距離公式、導數的運算法則、分類討論的思想方法、累加求和等是解題的關鍵．