Question

下列四個命題，其中為真命題的是

①②③

；（寫出所有的真命題序號）
①方程2x²+4x+y=0表示的曲線一定經過坐標原點，
②不等式x²+4x+5≤0的解集為空集，
③方程xy=0表示的曲線關于直線y=x對稱，
④若sinα=sinβ，則α=β．

Answer 1

分析：根據曲線方程的概念，點在曲線上的充要條件是點的坐標是曲線方程的解，∴只需驗證點的坐標是不是方程的解，就可判定點在不在曲線上，利用一元二次函數圖象與一元二次方程的根，可分析求解一元二次不等式的解集；點（a、b）關于y=x對稱點是（b、a），用方程驗證即可．

解答：解：∵原點（0，0）的坐標是方程2x²+4x+y=0的解，∴曲線一定過坐標原點，①√；
∵△=4²-4×5=16-20=-4＜0，函數y=x²+4x+5 的圖象全部在x軸上方，∴x²+4x+5≤0的解集為∅，∴②√；
∵對曲線上的任一點P（a，b）關于y=x的對稱點Q（b，a），滿足方程ba=0，∴Q（b，a）在曲線上，∴曲線 xy=0，關于y=x 直線對稱，③√；
∵sin

π

6

=sin

5π

6

=

1

2

，而

π

6

≠

5π

6

，∴④×；
故答案是①②③

點評：本題借助真假命題的判斷，考查了一元二次不等式的解集；曲線方程的概念及曲線對稱的判定方法等知識．