Question

【題目】已知圓關于直線對稱的圓為.

（1）求圓的方程；

（2）過點作直線與圓交于兩點， 是坐標原點，是否存在這樣的直線，使得在平行四邊形中？若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在直線和

【解析】試題分析：（1）將圓的一般方程轉化為標準方程，將圓關于直線對稱問題轉化為點關于直線對稱問題，進而求出圓的方程；（2）先由條件判定四邊形為矩形，將問題轉化為判定兩直線垂直，利用平面向量是數量積為0進行求解.

試題解析：（1）圓化為標準為，

設圓的圓心關于直線的對稱點為，則，

且的中點在直線上，

所以有，

解得： ，

所以圓的方程為.

（2）由，所以四邊形為矩形，所以.

要使，必須使，即： .

①當直線的斜率不存在時，可得直線的方程為，與圓

交于兩點， .

因為，所以，所以當直線的斜率不存在時，直線滿足條件.

②當直線的斜率存在時，可設直線的方程為.

設

由得： .由于點在圓內部，所以恒成立，

，

， ，

要使，必須使，即，

也就是：

整理得：

解得： ，所以直線的方程為

存在直線和，它們與圓交兩點，且四邊形對角線相等.