Question

已知函數f（x）=log_ax，g（x）=log_a（2x+m-2），其中x∈[1，2]，a＞0且a≠1，m∈R．
（I）當m=4時，若函數F（x）=f（x）+g（x）有最小值2，求a的值；
（Ⅱ）當0＜a＜l時，f（x）≥2g（x）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）將m=4代入F（x），求出其定義域，先判斷其為增函數，根據題意函數F（x）=f（x）+g（x）有最小值2，列出等式，求a的值；
（Ⅱ）0＜a＜l，求出其定義域，可以令h（x）=4x²+（4m-9）x+（m-2）²，對其進行配方，分類討論，求出h（x）的最小值，讓其大于0即可求實數m的取值范圍；

解答：解：（I）由題意，m=4時，F（x）=f（x）+g（x）=log_ax+log_a（2x+2）=loga(2x2+2x)，
又x∈[1，2]，則2x²+2x∈[4，12]．
而函數F（x）=f（x）+g（x）有最小值2，
∴a＞1，解得a=2；
（Ⅱ）由題意，0＜a＜1時，∵f（x）≥2g（x），
∴

1≤x≤2 2x+m-2＞0 logax≥loga(2x+m-2)2

⇒

1≤x≤2 m＞2-2x x≤(2x+m-2)2

，
⇒

1≤x≤2 m＞0 4x2+(4m-9)x+(m-2)2≥0

，
令h（x）=4x²+（4m-9）x+（m-2）²=4[x-（

9

8

-

m

2

）]²+（m-2）²-

(9-4m)2

16

，
（1）當0＜m＜

1

4

時，1＜

9

8

-

m

2

＜

9

8

＜2，
函數h（x）min=（m-2）²-

(9-4m)2

16

≥0，
解得m無解；
（2）當m≥

1

4

時，函數h（x）在x∈[1，2]上的單調遞增，
則h（x）_min=h（1）=m²-1≥0⇒m≥1．
綜上，實數m的取值范圍為[1，+∞）．

點評：此題主要考查對數函數的性質及其應用，解題的過程中利用到了轉化的思想，考查的知識點比較大，是一道難題；