Question

如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB⊥AC，DC⊥BC，求證：平面ABD⊥平面ACD．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：由平面ABC⊥平面BCD，DC⊥BC，可得CD⊥平面ABC，進而CD⊥AB，結合AB⊥AC和線面垂直的判定定理，可得AB⊥平面ACD，進而平面ABD⊥平面ACD．

解答： 證明：∵平面ABC⊥平面BCD，DC⊥BC，平面ABC∩平面BCD=BC，DC?平面BCD，
∴CD⊥平面ABC，
又∵AB?平面ABC，
∴CD⊥AB，
又∵AB⊥AC，AC，CD?平面ACD，AC∩CD=C，
∴AB⊥平面ACD，
又∵AB?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面ACD．

點評：本題以正三棱錐為載體，考查了面面垂直的判定定理，線面垂直的判定定理，熟練掌握空間線線垂直，線面垂直及面面垂直的轉化方法是解答的關鍵．