Question

已知偶函數f（x）對任意x均滿足f（3+x）+f（-1-x）=6，且當x∈[1，2]時，f（x）=x+2．若關于x的方程f（x）-log_a（x+2）=2有五個不相等的實數根，則實數a的取值范圍為（　�。�

• A、（1，2）
• B、(2，2

  3

  )
• C、(2，2

  2

  )
• D、(2

  2

  ，2

  3

  )

Answer 1

分析：依題意，可求得偶函數f（x）的圖象關于直線x=2對稱，是以4為周期的函數，作出y=f（x）的圖象后，構造函數g（x）=log_a（x+2），h（x）=f（x）-2，作圖分析即可求得答案．

解答：解：∵f（3+x）+f（-1-x）=6，
令-1-x=t，則x=-1-t，3+x=2-t，
∴f（t）+f（2-t）=6，
∴f（-t）+f（2+t）=6，又f（x）為偶函數，f（-x）=f（x），
∴f（t）=f（-t），
∴f（2+t）=f（2-t），
∴f（2+x）=f（2-x），
∴偶函數f（x）的圖象關于直線x=2對稱；①
由f（x）+f（2+x）=6，知f（4+x）+f（2+x）=6，
∴f（4+x）=f（x），
∴f（x）是以4為周期的函數；②
∵當x∈[1，2]時，f（x）=x+2，
∴令-1＜x＜0，則1＜x+2＜2，
∴f（x+2）=（x+2）+2=6-f（x），
∴f（x）=2-x（-1＜x＜0）；
同理可求，當0＜x＜1時，f（x）=x+2；
∴y=f（x）的圖象如下：

由f（x）-log_a（x+2）=2得：log_a（x+2）=f（x）-2，
令g（x）=log_a（x+2），h（x）=f（x）-2，
方程f（x）-log_a（x+2）=2有五個不相等的實數根?g（x）=log_a（x+2）與h（x）=f（x）-2有5個交點，作圖如下：

由圖知，0＜log_a（6+2）＜2且log_a（10+2）＞2，
解得：2

2

＜a＜2

3

．
故選：D．

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查函數的對稱性、周期性的確定及應用，考查轉化思想與作圖能力，屬于難題．