Question

甲、乙兩人進行射擊訓練，命中率分別為

2

3

與P，且乙射擊2次均未命中的概率為

1

4

．
（1）求乙射擊的命中率；
（2）若甲射擊2次，乙射擊1次，兩人共命中的次數(shù)記為ε，求ε的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析：對于（1）求乙射擊的命中率，因為已知乙射擊2次均未命中的概率為

1

4

，又未命中的概率為1減去命中的概率，列出等式即可．
對于（2）兩人共命中的次數(shù)記為ε，求ε的分布列和數(shù)學期望．因為兩人共射擊了3次，故ξ可能的取值為0，1，2，3，根據(jù)相互獨立事件的乘法公式分別求得每種可能性的概率，即可得到分布列，再根據(jù)期望公式求得期望即可．

解答：解：（1）設(shè)“甲射擊一次命中”為事件A，“乙射擊一次命中”為事件B
由題意得(1-P(B))2=(1-P)2=

1

4

解得P=

1

2

或P=

3

2

（舍去），
故乙射擊的命中率為

1

2

．
（2）由題意和（1）知P(A)=

2

3

，P(

.

A

)=

1

3

，P(B)=

1

2

，P(

.

B

)=

1

2

．
ξ可能的取值為0，1，2，3，
故P(ξ=0)=P(

.

A

)P(

.

A

)P(

.

B

)=

1

3

×

1

3

×

1

2

=

1

18

P(ξ=1)=2P(A)P(

.

A

)P(

.

B

)+P(

.

A

)P(

.

A

)P(B)=2×

2

3

×

1

3

×

1

2

+

1

3

×

1

3

×

1

2

=

5

18

.P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=1-

1

18

-

5

18

-

4

18

=

8

18

P(ξ=3)=P(A)P(A)P(B)=

2

3

×

2

3

×

1

2

=

4

18

故ξ的分布列為
由此得ξ的數(shù)學期望Eξ=0×

1

18

+1×

5

18

+2×

4

18

+3×

8

18

=

37

18

．

點評：此題主要考查離散型隨機變量的分布列和期望的求法，其中應(yīng)用到相互獨立事件的概率乘法公式，題目覆蓋知識點較多，但都屬于基本的考點，屬于中檔題目．