Question

為適應新課改，切實減輕學生負擔，提高學生綜合素質，某地區抽取了高三年級文科生300人在數學選修1-1、1-2、4-1選課方面進行改革，由學生從三冊中自由選擇1冊（不可多選，也不可不選）進行選修，選課情況如下表：

	1-1	1-2	4-1
男生	75	a	40
女生	b	50	30

（I）為了解學生情況，現采用分層抽樣方法從這300人中抽取了30人，若統計發現選擇1-2有10人，試根據這一數據求出a，b的值；
（II）因某種原因，要求48≤a≤56，計算a＞b的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出選課的總人數，利用分層抽樣中每一層所抽取的比例數相等列式求出a的值，則用總人數減去已知人數可求b得值；
（Ⅱ）由題意可知a+b=105且48≤a≤56，求出滿足上述條件的所有正整數對（a，b），查出滿足a＞b的正整數對的個數，然后直接利用古典概型概率計算公式求解．

解答：解：（I）由每生選1冊知共有300人次選課 
所以按分層抽樣得：

30

300

=

10

50+a

所以a=50，從而b=55；                    
（II）因為a+b=105，48≤a≤56
所以（a，b）的取值有：（48，57），（49，56），（50，55），（51，54），（52，53），
（53，52），（54，51），（55，50），（56，49）共9種；
其中a＞b的情況有共（53，52），（54，51），（55，50），（56，49）4種 
所以a＞b的概率為P=

4

9

．
答：（I）根據題意求得a=50，b=55；
（II）求得a＞b的概率為P=

4

9

．

點評：本題考查了分層抽樣方法，考查了列舉法計算基本事件及事件發生的概率，解答的關鍵是對事件的列舉不重不漏，是基礎的計算題型．