Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上．若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)、的距離之和等于4．
（1）寫出橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)、，當(dāng)的面積取得最大值時(shí)，求直線的方程．

Answer 1

（1），焦點(diǎn)坐標(biāo)為， 
（2）x=1．

解析試題分析：（1）根據(jù)題意，由于橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上．若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)、的距離之和等于4．則可知2a=4，a=2，再根據(jù)題意得到點(diǎn)在橢圓上解得b=1,G故可知橢圓C的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，  　3分
（2）MN斜率不為0，設(shè)MN方程為．              　 4分
聯(lián)立橢圓方程：可得
記M、N縱坐標(biāo)分別為、，
則       7分
設(shè)
則，該式在單調(diào)遞減，所以在，即時(shí)取最大值．綜上，直線MN的方程為x=1．                              10分
考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。