Question

已知圓C：x²+y²-2x-4y-3=0，直線l：y=x+b．
（1）若直線l與圓C相切，求實數b的值
（2）是否存在直線l與圓C交于A、B兩點，且OA⊥OB（O為坐標原點）；如果存在，求出直線l的方程，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先將圓的方程化為標準形式，進而可得到圓心坐標和半徑長度，再由圓心到直線l的距離等于半徑求出b的值即可．
（2）先設點A，B的坐標，根據OA⊥OB得到兩點坐標之間的關系，然后聯立直線與圓的方程消去y得到關于x的一元二次方程，再由韋達定理得到兩根之和與兩根之積后代入所求的關系式，即可求出b的值，從而可求得直線方程．

解答：解：（1）圓的方程化為（x-1）²+（y-2）²=8
所以圓心為（1，2），半徑為2

2

∴d=

|1-2+b|

2

=2

2

∴b=5或-3
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵OA⊥OB，∴

y1

x1

•

y2

x2

=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0∵y₁=x₁+b，y₂=x₂+b，
∴x₁x₂+（x₁+b）（x₂+b）=0∴2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0
將y=x+b代入圓方程得：2x²+2（b-3）x+b²-4b-3=0
∴x1+x2=3-b，x1x2=

b2-4b-3

2

∴b²-4b-3+b（3-b）+b²=0，b²-b-3=0，b=

1± 13

2

所以所求直線方程為y=x+

1± 13

2

點評：本主要考查直線與圓的位置關系，考查基礎知識的綜合運用和靈活能力．直線與圓的位置關系--相切、相交、相離是高考的一個重要考點，平時要多加練習．