Question

（2012•浦東新區(qū)一模）世博中學(xué)為了落實(shí)上海市教委推出的“陽(yáng)光運(yùn)動(dòng)一小時(shí)”活動(dòng)，計(jì)劃在一塊直角三角形ABC的空地上修建一個(gè)占地面積為S的矩形AMPN健身場(chǎng)地，如圖點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在AB上，且P點(diǎn)在斜邊BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x，x∈[10，20]．
（1）試用x表示S，并求S的取值范圍；
（2）設(shè)矩形AMPN健身場(chǎng)地每平方米的造價(jià)為

37k

S

，再把矩形AMPN以外（陰影部分）鋪上草坪，每平方米的造價(jià)為

12k

S

（k為正常數(shù)），求總造價(jià)T關(guān)于S的函數(shù)T=f（S）；試問(wèn)如何選取|AM|的長(zhǎng)使總造價(jià)T最低（不要求求出最低造價(jià)）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，分析可得，欲求健身場(chǎng)地占地面積，只須求出圖中矩形的面積即可，再結(jié)合矩形的面積計(jì)算公式求出它們的面積即得，最后再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出其范圍；
（2）對(duì)于（1）所列不等式，考慮到其中兩項(xiàng)之積為定值，可利用基本不等式求它的最大值，從而解決問(wèn)題．

解答：解：（1）在Rt△PMC中，顯然|MC|=30-x，∠PCM=60°
∴|PM|=|MC|tan∠PCM=

3

（30-x），…2分
矩形AMPN的面積S=|PM||MC|=

3

x（30-x），x∈[10，20]…4分
于是200

3

≤S≤225

3

為所求．…6分
（2）矩形AMPN健身場(chǎng)地造價(jià)T₁=37k

S

 …7分
又△ABC的面積為450

3

，即草坪造價(jià)T₂=

12k

S

(450

3

-S）…8分
由總造價(jià)T=T₁+T₂，∴T=25k（

S

+

216 3

S

），200

3

≤S≤225

3

．…10分
∴T=25k（

S

+

216 3

S

），200

3

≤S≤225

3

∵

S

+

216 3

S

≥12

6 3

，…11分
當(dāng)且僅當(dāng)

S

=

216 3

S

即S=216

3

時(shí)等號(hào)成立，…12分
此時(shí)

3

x（30-x）=216

3

，解得x=12或x=18，
所以選取|AM|的長(zhǎng)為12米或18米時(shí)總造價(jià)T最低．…14分．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、基本不等式的應(yīng)用、矩形的面積等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．