Question

定義τ（a₁，a₂，…，a_n）=|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+…+|a_n-1-a_n|為有限項數列{a_n}的波動強度．
（Ⅰ）當a_n=（-1）ⁿ時，求τ（a₁，a₂，…，a₁₀₀）；
（Ⅱ）若數列a，b，c，d滿足（a-b）（b-c）（c-d）＞0，求證：τ（a，b，c，d）≤τ（a，c，b，d）；
（Ⅲ）設{a_n}各項均不相等，且交換數列{a_n}中任何相鄰兩項的位置，都會使數列的波動強度增加，求證：數列{a_n}一定是遞增數列或遞減數列．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用新定義，計算出各項，易得a₁=-1，a₂=1，a₃=-1，a₄=1，…，…，a₉₉=-1，a₁₀₀=1，從而有τ（a₁，a₂，…，a₁₀₀）=2×99=198；
（Ⅱ）要證τ（a，b，c，d）≤τ（a，c，b，d），即證：|a-b|+|b-c|+|c-d|≤|a-c|+|c-b|+|b-d|，即證：|a-b|+|c-d|≤|a-c|+|b-d|，由條件可得；
（Ⅲ）不失一般性，假設數列{a_n}中相鄰兩項為a_m-1，a_m則：|a_m-2-a_m-1|+|a_m-a_m+1|＜|a_m-2-a_m|+|a_m-1-a_m+1|，從而可證．
解答：解：（Ⅰ）由定義知，a₁=-1，a₂=1，a₃=-1，a₄=1，…，a₉₉=-1，a₁₀₀=1，從而有τ（a₁，a₂，…，a₁₀₀）=2×99=198；
（Ⅱ）要證τ（a，b，c，d）≤τ（a，c，b，d），即證：|a-b|+|b-c|+|c-d|≤|a-c|+|c-b|+|b-d|，即證：|a-b|+|c-d|≤|a-c|+|b-d|，由條件（a-b）（b-c）（c-d）＞0可得；
（Ⅲ）不失一般性，假設數列{a_n}中相鄰兩項為a_m-1，a_m則：|a_m-2-a_m-1|+|a_m-a_m+1|＜|a_m-2-a_m|+|a_m-1-a_m+1|，由（Ⅱ）可知：（a_m-2-a_m-1）（a_m-1-a_m）（a_m-a_m+1）＞0，從而有數列{a_n}一定是遞增數列或遞減數列．
點評：本題主要考查新定義，解題是應充分理解新定義；證明時采用了分析法；第三問則利用第二問的結論，屬于難題．