Question

【題目】如圖，設橢圓的中心為原點，長軸在軸上，上頂點為，左、右焦點分別為，線段的中點分別為，且是面積為的直角三角形.

（1）求該橢圓的離心率和標準方程；

（2）過作直線交橢圓于兩點，使，求的面積.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據是面積為的直角三角形，，可知為直角，從而，即，又，消去即得離心率，可得，從而求得橢圓方程；（2）設直線的方程為，代入橢圓方程可得，根據韋達定理，可得，寫出的坐標，由于，據此可求得的值，因為的面積，所以求出即得的面積.

試題解析：（1）設橢圓的方程為，，∵是面積為的直角三角形，，∴為直角，從而，得，∵

，在中，，∴，∵

，∴橢圓標準方程為.

（2）由（1）知，由題意，直線的傾斜角不為，故可設直線的方程為，代入橢圓方程，消元可得，①

設，∵，

∴，∵，∴，∴，當時，①可化為，

∴，

∴的面積.