Question

已知函數．
（Ⅰ）若為定義域上的單調增函數，求實數的取值范圍；
（Ⅱ）當時，求函數的最大值；
（Ⅲ）當時，且，證明：.

Answer 1

(1)  (2)  
(3)根據題意，構造函數，利用導數判定單調性的運用，然后求證明不等式。

試題分析：解：（Ⅰ），   ∴
因為為定義域上的單調增函數，由對恒成立，   ∴，而，所以
∴當時，為定義域上的單調增函數
（Ⅱ）當時，由，得
當時，，當時，
∴在時取得最大值，∴此時函數的最大值為
（Ⅲ） 當時，在上遞增
令
在上總有，即在上遞增
當時，，
即
令，,在上遞減, ∴  即，  ∵，∴，綜上成立，其中．
點評：主要是考查了函數的單調性和導數符號之間關系的運用，屬于中檔題。