Question

【題目】數學家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知△ABC的頂點A(2,0)，B(0,4)，若其歐拉線的方程為x－y＋2＝0，則頂點C的坐標是(　　)

A. (－4,0) B. (0，－4) C. (4,0) D. (4,0)或(－4,0)

Answer 1

【答案】A

【解析】分析：設出點C的坐標，由重心坐標公式求得重心，代入歐拉線得一方程，求出AB的垂直平分線，和歐拉線方程聯立求得三角形的外心，由外心到兩個頂點的距離相等得另一方程，兩方程聯立求得點C的坐標．

詳解：

設C(m，n)，由重心坐標公式得，

三角形ABC的重心為(，)，

代入歐拉線方程，得－＋2＝0，

整理，得m－n＋4＝0，①

AB的中點為(1,2)，kAB＝＝－2，

AB的中垂線方程為y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.

聯立解得

∴△ABC的外心為(－1,1)．

則(m＋1)2＋(n－1)2＝32＋12＝10，

整理，得m2＋n2＋2m－2n＝8，②

聯立①②，得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4.

當m＝0，n＝4時B，C重合，舍去．

∴頂點C的坐標是(－4,0)．

故選A.