Question

直線過點P（

4

3

，2）且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，點O為坐標原點，是否存在這樣的直線滿足下列條件：
（1）△AOB的周長為12；
（2）△AOB的面積為6．若存在，求出直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：設直線的方程為

x

a

+

y

b

=1  （a＞0，b＞0），若滿足（1）可得a+b+

a2+b2

=12，

4

3a

+

2

b

=1，聯立可解ab，可得方程；若滿足（2）可得ab=12，

4

3a

+

2

b

=1，
同樣可得方程，它們公共的方程即為所求．

解答：解：設直線的方程為

x

a

+

y

b

=1  （a＞0，b＞0），
若滿足條件（1）則可得a+b+

a2+b2

=12   ①，
再由直線過點P（

4

3

，2）可得

4

3a

+

2

b

=1   ②
由①②可解得

a=3 b=4

或

a= 12 5 b= 9 2

，
故所求直線的方程為：

x

4

+

y

3

=1或

5x

12

+

2x

9

=1，
化為一般式可得3x+4y-12=0或15x+8y-36=0；
若滿足條件（2）則可得ab=12，

4

3a

+

2

b

=1，
消去b，并整理得a²-6a+8=0，
解得

a=4 b=3

或

a=2 b=6

，
所以所求直線的方程為

x

4

+

y

3

=1或

x

2

+

y

6

=1，
化為一般式可得3x+4y-12=0或3x+y-6=0；
故同時滿足（1）（2）的直線方程為：3x+4y-12=0

點評：本題考查直線的一般式方程和三角形的面積和周長，涉及方程組的求解，屬基礎題．