Question

給出以下4個(gè)命題，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

（1）（3）

（1）當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線（a-1）x-y+2a+1=0恒過(guò)定點(diǎn)P則焦點(diǎn)在y軸上且過(guò)點(diǎn)P拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x²=

4

3

y．
（2）若直線l₁：2kx+（k+1）y+1=0與直線l₂：x-ky+2=0垂直，則實(shí)數(shù)k=1；
（3）已知數(shù)列{a_n}對(duì)于任意p，q∈N^*，有a_p+a_q=a_p+q，若a₁=

1

9

，則a₃₆=4
（4）對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，令[x]大于x最大整數(shù)，例如：[3.05]=3，[

5

3

]=1，則函數(shù)f（x）=[x]稱為高斯函數(shù)或取整函數(shù)，若a_n=f（

n

3

）（n∈N^*），S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，則S₅₀=145．

Answer 1

分析：（1）求出直線（a-1）x-y+2a+1=0恒過(guò)P點(diǎn)，設(shè)出焦點(diǎn)在y軸上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)P坐標(biāo)即可；
（2）由直線垂直的充要條件A₁A₂+B₁B₂=0，求出k的值；
（3）由a_p+a_q=a_p+q，得a_n=na₁，再由a₁得a₃₆；
（4）由a_n=f（

n

3

）=[

n

3

]（n∈N^*），可得S₅₀=0+0+1+1+1+2+2+2+…+16+16+16，計(jì)算出結(jié)果來(lái)．

解答：解：（1）∵直線（a-1）x-y+2a+1=0，
∴a（x+2）-x-y+1=0，∴

x+2=0 -x-y+1=0

，
解得

x=-2 y=3

，
∴直線恒過(guò)（-2，3）點(diǎn)；
設(shè)焦點(diǎn)在y軸上且過(guò)點(diǎn)P的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x²=2py，
則（-2）²=2p×3，解得p=

2

3

，
∴拋物線方程為x²=

4

3

y，即（1）正確；
（2）若直線l₁：2kx+（k+1）y+1=0與直線l₂：x-ky+2=0垂直，則2k+（k+1）•（-k）=0，
即k²-k=0，解得k=0或k=1，故（2）錯(cuò)誤；
（3）若a_p+a_q=a_p+q，則a_n=na₁，∴由a₁=

1

9

可得a₃₆=4，故（3）正確；
（4）∵a_n=f（

n

3

）=[

n

3

]（n∈N^*），
∴S₅₀=0+0+1+1+1+2+2+2+…+16+16+16=3×

16×17

2

=408，∴（4）錯(cuò)誤．
綜上，正確命題的序號(hào)是（1）（3）．
故答案為：（1）（3）

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)命題真假的判定，考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，以及直線方程的有關(guān)知識(shí)，是容易出錯(cuò)的題目．