Question

【題目】已知函數．

（1）求在點處的切線方程；

（2）求證：在上僅有個零點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出和，然后利用點斜式寫出所求切線的方程；

（2）利用當時，來說明函數在上沒有零點，并利用函數的單調性和零點存在定理證明出函數在區間上有且只有一個零點，并結合，可證明出函數在區間上有兩個零點.

（1），則，，.

因此，函數在點處的切線方程為，即；

（2）當時，，此時，，所以，函數在區間上沒有零點；

又，下面只需證明函數在區間上有且只有一個零點.

，構造函數，則，

當時，，

所以，函數在區間上單調遞增，

，，由零點存在定理知，存在，使得，且當時，，當時，.

所以，函數在處取得極小值，則，

又，所以，由零點存在定理可知，函數在區間上有且只有一個零點.

綜上所述，函數在區間上有且僅有兩個零點.