Question

【題目】（12分）已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）C的方程為

（2）詳見(jiàn)解析

【解析】（1）由于，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn).

又由知，C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.

因此，解得.

故C的方程為.

（2）設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，

如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知，且，可得A，B的坐標(biāo)分別為（t，），（t，）.

則，得，不符合題設(shè).

從而可設(shè)l：（）.將代入得

由題設(shè)可知.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=.

而

.

由題設(shè)，故.

即.

解得.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，欲使l：，即，

所以l過(guò)定點(diǎn)（2，）