Question

【題目】已知函數，直線.

（1）若直線與曲線相切，求切點橫坐標的值；

（2）若函數，求證： .

Answer 1

【答案】（1）公共點的橫坐標為；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）設切點，根據導數幾何意義得，又，解得，最后討論切線斜率不存在的情形不滿足題意，（2）先等價轉化不等式為對一切 恒成立，再利用導數研究函數最小值，即得結論

試題解析：（1）由，得，

易知時， 單調遞減， 時， 單調遞增，

根據直線的方程，可得恒過點，

①當時，直線垂直軸，與曲線相交于一點，無切點；

②當時，設切點，直線可化為，斜率，

又直線和曲線均過點，則滿足，

所以，兩邊約去后，

可得，化簡得，

切點橫坐標，綜上所述，由①和②可知，該公共點的橫坐標為；

（2）欲證 ，即證 對一切 恒成立，設，則 ，易知時， 單調遞減， 時， 單調遞增，所以 ，原命題得證