Question

設函數f（x）=x|x-a|+b
（1）求證：f（x）為奇函數的充要條件是a²+b²=0．
（2）設常數b＜2-3，且對任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）充分性：若a²+b²=0∴a=b=0
∴f（x）=x|x|對任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0
∴f（x）為奇函數，故充分性成立．（2分）
必要性：若f（x）為奇函數
則對任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立，
即-x|-x-a|+b+x|x-a|+b=0
令x=0，得b=0；令x=a，得a=0．∴a²+b²=0（6分）

（2）由b＜2-3＜0，當x=0時a取任意實數不等式恒成立
當0＜x≤1時f（x）＜0恒成立，也即x+＜a＜x-恒成立
令g（x）=x+在0＜x≤1上單調遞增，∴a＞g_max（x）=g（1）=1+b（10分）
令h（x）=x-，則h（x）在（0，]上單調遞減，[，+∞）單調遞增
1°當b＜-1時h（x）=x-在0＜x≤1上單調遞減
∴a＜h_min（x）=h（1）=1-b．∴1+b＜a＜1-b．（12分）
2°當-1≤b＜2-3時，h（x）=x-≥2，
∴a＜h_min（x）=2，∴1+b＜a＜2．（14分）
分析：（1）欲證f（x）為奇函數的充要條件是a²+b²=0，須證兩個方面：①充分性：若a²+b²=0?f（x）為奇函數，②必要性：若f（x）為奇函數?a²+b²=0．
（2）分類討論：①當x=0時a取任意實數不等式恒成立；②當0＜x≤1時f（x）＜0恒成立，再轉化為x+＜a＜x-恒成立問題，下面利用函數g（x）=x+的最值即可求得實數a的取值范圍．
點評：本小題主要考查充要條件、函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，化歸與轉化思想．屬于基礎題．如果能從命題p推出命題q，且能從命題q推出命題p，那么 條件q與條件p互為充分必要條件，簡稱充要條件．