Question

某種商品在30天內每件銷售價格P（元）與時間t（天）的函數關系用如圖所示的兩條線段表示，該商品在30天內日銷售量Q（件）與時間t（天）之間的函數關系是Q=-t+40（0＜t≤30，t∈N^*）．
（1）根據提供的圖象，寫出該商品每件的銷售價格P與時間t的函數關系式；
（2）求該商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大的一天是30天中的第幾天？（日銷售金額=每件的銷售價格×日銷售量）

Answer 1

分析：（1）根據圖象可知，每件商品的銷售價格P與時間t的函數關系式滿足一次函數，根據圖象中所提供的點進行求解
（2）由日銷售金額=每件的銷售價格×日銷售量可得，且由確表格中所提供的數據可知Q=t-40，從而結合（1）可得y=

-t2+20t+800 0＜t＜25 t2-140t+4000 ，25≤t≤30

，利用二次函數的性質進行求解最大值．

解答：解：（1）當0＜t＜25時，設P=kt+b，則

b=20 25k+b=45

∴

b=20 k=1

∴P=t+20（2分）
當25≤t≤30時，設P=mt+n，則

25m+n=75 30m+n=70

，
∴

m=-1 n=100

∴P=-t+100（5分）
綜上所述：P=

t+20  ，0＜t＜25 100-t，25≤t≤30

（6分）
（2）設銷售額為S元
當0＜t＜25時，S=P•Q=（t+20）•（-t+40）=-t²+20t+800=-（t-10）²+900（8分）
∴當t=10時，S_max=900（9分）
當25≤t≤30時，S=PQ=（100-t）（-t+40）=t²-140t+4000=（t-70）²-900（11分）
∴當t=25時，S_max=1125＞900（13分）
綜上所述，第25天時，銷售額最大為1125元．（14分）

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及分段函數求最值，同時考查了根據圖象求解析式，屬于中檔題．