Question

（1）選修4-2：矩陣與變換
若矩陣A有特征值λ₁=2，λ₂=-1，它們所對應的特征向量分別為e1=

1 0

和e2=

0 1

．
（I）求矩陣A；
（II）求曲線x²+y²=1在矩陣A的變換下得到的新曲線方程．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
已知曲線C₁的參數方程為

x=2sinθ y=cosθ

(θ為參數），C₂的參數方程為

x=2t y=t+1

(t為參數）
（I）若將曲線C₁與C₂上所有點的橫坐標都縮短為原來的一半（縱坐標不變），分別得到曲線C′₁和C′₂，求出曲線C′₁和C′₂的普通方程；
（II）以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，求過極點且與C′₂垂直的直線的極坐標方程．
（3）選修4-5：不等式選講
設函數f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求關于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若g(x)=

1

f(x)+m

的定義域為R，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）（I）設A=（

a b c d

），由A

i

=λ₁

i

，A

j

=λ₂

j

可求得a，b，c，d；
（II）設曲線x²+y²=1上任意一點（x，y）在矩陣A對應的變換下得到的點為（x′，y′），由

2 0 0 -1

x y

=

x′ y′

，可求得x與x′，y與y′之間的關系，從而可得新曲線方程；
（2）（I）消掉C₁：

x=2sinθ y=cosθ

(θ為參數）與C₂：

x=2t y=t+1

(t為參數）中的參數，可求得其普通方程；
（Ⅱ）依題意可知，在直角坐標系中過極點即為過原點與曲線C₂垂直的直線方程為y=-x，由tanθ=1可轉化為極坐標方程；
（3）（I）通過對x分類討論，去掉絕對值符號，轉化為一次不等式組，即可求得不等式f（x）≤5的解集；
（II）g（x）=

1

f(x)+m

的定義域為R?f（x）+m≠0恒成立?f（x）+m=0在R上無解，利用絕對值函數的幾何意義可求得f（x）的最小值，從而可求得m的范圍．

解答：解：（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換
（I）設A=（

a b c d

），由A

i

=λ₁

i

，A

j

=λ₂

j

得：

a b c d

1 0

=2

1 0

=

2 0

，

a b c d

0 1

=-1×

0 1

=

0 -1

，
∴

a=2 c=0 b=0 d=-1

，故A=

2 0 0 -1

…4分
（II）設曲線x²+y²=1上任意一點（x，y）在矩陣A對應的變換下得到的點為（x′，y′），則

2 0 0 -1

x y

=

x′ y′

，即

x′=2x y′=-y

，
∴

x= 1 2 x′ y=-y′

，從而(

1

2

x′)2+（-y′）²=1，即

x′2

4

+y′²=1，
∴新曲線方程為

x2

4

+y²=1…7分
（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標系與參數方程
∵（Ⅰ）C₁：

x=2sinθ y=cosθ

(θ為參數），C₂：

x=2t y=t+1

(t為參數，
∴C₁的普通方程為x²+y²=1，C₂的普通方程為y=x-1…4分
（Ⅱ）在直角坐標系中過極點即為過原點與曲線C₂垂直的直線方程為y=-x，
在極坐標系中，直線化為tanθ=1，方程為θ=

π

4

或θ=

3π

4

…7分
（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講
（Ⅰ）

x＜ 1 2 4-4x≤5

或

1 2 ≤x≤ 3 2 2≤5

或

x＞ 3 2 4x-4≤5

，
∴不等式的解集為x∈[-

1

4

，

9

4

]…4分
（Ⅱ）若g（x）=

1

f(x)+m

的定義域為R，則f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在R上無解，
又f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2，
∴f（x）的最小值為2，
∴m＜-2…7分．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查特征值與特征向量的計算，考查參數方程化成普通方程，考查抽象思維與轉化能力，考查綜合分析與運算能力，屬于難題．