Question

已知雙曲線＝1的離心率為2，焦點到漸近線的距離等于，過右焦點F₂的直線l交雙曲線于A、B兩點，F₁為左焦點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若△F₁AB的面積等于6，求直線l的方程．

Answer 1

（1）x²－＝1（2）y＝±(x－2)

學生錯解：解：(2)設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，F(2，0)，直線l：y＝k(x－2)，
由消元得(k²－3)x²－4k²x＋4k²＋3＝0，x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，y₁－y₂＝k(x₁－x₂)，
△F₁AB的面積S＝c|y₁－y₂|＝2|k|·|x₁－x₂|＝2|k|＝2|k|·＝6，k⁴＋8k²－9＝0，k²＝1，k＝±1，所以直線l的方程為y＝±(x－2)．
審題引導：(1)直線與雙曲線相交問題時的處理方法；(2)△F₁AB面積的表示．
規范解答：解：(1)依題意，b＝，＝2?a＝1，c＝2，(4分)
∴雙曲線的方程為x²－＝1.(6分)
(2)設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，F₂(2，0)，直線l：y＝k(x－2)，
由消元得(k²－3)x²－4k²x＋4k²＋3＝0，(8分)
k≠±時，x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，y₁－y₂＝k(x₁－x₂)，(10分)
△F₁AB的面積S＝c|y₁－y₂|＝2|k|·|x₁－x₂|＝2|k|·＝2|k|·＝6，k⁴＋8k²－9＝0，k²＝1，k＝±1，(14分)
所以直線l的方程為y＝±(x－2)．(16分)
錯因分析：解本題時容易忽略二次項系數不為零，即k≠±這一條件