Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求證：平面BCE⊥平面CDE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取CE中點P，連接FP、BP，欲證AF∥平面BCE，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證AF與平面平面BCE內一直線平行，而AF∥BP，AF?平面BCE，BP?平面BCE，滿足定理條件；
（Ⅱ）欲證平面BCE⊥平面CDE，根據面面垂直的判定定理可知在平面BCE內一直線與平面CDE垂直，而根據題意可得BP⊥平面CDE，BP?平面BCE，滿足定理條件．

解答：證明：（Ⅰ）取CE中點P，連接FP、BP，
∵F為CD的中點，
∴FP∥DE，且FP=

1

2

DE．
又AB∥DE，且AB=

1

2

DE．
∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF為平行四邊形，∴AF∥BP．（4分）
又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，
∴AF∥平面BCE（6分）

（Ⅱ）∵△ACD為正三角形，∴AF⊥CD
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB
∴DE⊥平面ACD又AF?平面ACD
∴DE⊥AF
又AF⊥CD，CD∩DE=D
∴AF⊥平面CDE（10分）
又BP∥AF∴BP⊥平面CDE
又∵BP?平面BCE
∴平面BCE⊥平面CDE（12分）

點評：本小題主要考查空間中的線面關系，考查線面平行、面面垂直的判定，考查運算能力和推理論證能力，考查轉化思想，屬于基礎題．