Question

（選做題）本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在答題卡指定區域內作答，若多做，則按作答的前兩題評分，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．[選修4-1：幾何證明選講]
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧AC上的點（不與點A，C重合），延長BD至點E．
求證：AD的延長線平分∠CDE
B．[選修4-2：矩陣與變換]
已知矩陣A=

1 2 -1 4

（1）求A的逆矩陣A^-1；
（2）求A的特征值和特征向量．
C．[選修4-4：坐標系與參數方程]
已知曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ，以極點為原點，極軸為x軸的非負半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數方程為

x= 1 2 t y= 3 2 t+1

（t為參數），求直線l被曲線C截得的線段長度．
D．[選修4-5，不等式選講]（本小題滿分10分）
設a，b，c均為正實數，求證：

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

．

Answer 1

分析：A．要證AD 的延長線平分∠CDE，即證∠EDF=∠CDF，根據A，B，C，D 四點共圓，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，從而得解．
B．（1）根據所給的矩陣求這個矩陣的逆矩陣，可以首先求出ad-bc的值，再代入逆矩陣的公式，求出結果．
（2）先根據特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量．
C．曲線C為：x²+y²-4y=0，圓心（0，2），半徑為2，由此能求出直線被曲線C載得的線段長度．
D．對左邊變形

1

2

（

1

2a

+

1

2b

）+

1

2

（

1

2b

+

1

2c

）+

1

2

（

1

2c

+

1

2a

）后兩項應用基本不等式，得到三個不等式后相加即得．

解答：解：A：設F為AD 延長線上一點，
∵A，B，C，D 四點共圓，∴∠ABC=∠CDF，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，
∵對頂角∠EDF=∠ADB，∴∠EDF=∠CDF，
故AD的延長線平分∠CDE．
B：解：（1）ad-bc=4+2=6，
A^-1=

d ad-bc -b ad-bc -c ad-bc a ad-bc

=

2 3 - 1 3 1 6 1 6

，
∴A-1=

2 3 - 1 3 1 6 1 6

．
（2）矩陣A的特征多項式為f（λ）=

.

λ-1 -2 1 λ-4

.

=λ²-5λ+6，
令f（λ）=0，得λ₁=2，λ₂=3，
當λ₁=2時，得

a1

=

2 1

，當λ₂=3時，得

a2

=

1 1

．
所以矩陣A屬于特征值2的一個特征向量為

2 1

，
矩陣M屬于特征值3的一個特征向量為

1 1

．
C：曲線C為：x²+y²-4y=0，圓心（0，2），半徑為2，
直線l為：

3

x-y+1=0，圓心到直線的距離為：d=

|-2+1|

2

=

1

2

直線被曲線C載得的線段長度為：2

4- 1 4

=

17

．
D：證明：∵a、b、c均為實數，
∴

1

2

（

1

2a

+

1

2b

）≥

1

2 ab

≥

1

a+b

，當a=b時等號成立；

1

2

（

1

2b

+

1

2c

）≥

1

2 bc

≥

1

b+c

，
當b=c時等號成立；

1

2

（

1

2c

+

1

2a

）≥

1

2 ca

≥

1

c+a

．
三個不等式相加即得

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

，
當且僅當a=b=c時等號成立．

點評：A考查直線與圓的位置關系，B考查逆矩陣的求法和矩陣的特征值和特征向量的求法，C考查極坐標標方程和參數方程的應用，D考查不等式的證明．都是基礎題，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．