Question

【題目】如圖,四棱柱中,底面是等腰梯形, ,,是線段的中點,平面.

(1)求證:平面；

(2)若,求平面和平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】分析：（1）以為坐標原點建立空間直角坐標系，寫出相應點的坐標，即可通過線面垂直的判定方法證得平面；

（2）寫出相應點的坐標，求出平面的一個法向量和平面的一個法向量，即可求得答案.

詳解：(1)證明方法一: 連接，因為底面是等腰梯形且

所以，，又因為是的中點，

因此，且，

所以，且，

又因為且，

所以，

因為，平面，

所以平面，

所以，平面平面，

在平行四邊形中，因為,

所以平行四邊形是菱形，

因此，

所以平面.

解法二：底面是等腰梯形，,,

所以，，

因此，

以為坐標原點建立空間直角坐標系，則,，

由得，

所以,,,，

因此，且，

所以且，

所以，平面.

(2)底面是等腰梯形，,,

所以，，

因此，

以為坐標原點建立空間直角坐標系，則,,,，

所以，,，

設平面的一個法向量，

由得，

由是平面的法向量，

因此，

平面和平面所成的銳二面角的余弦值是.