Question

已知z為負數，且（1+3i）z為純虛數，|z|=

10

．
（Ⅰ）求復數z；
（Ⅱ）若復數ω滿足|2ω-z|≤1，求|ω|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出復數z，對復數方程求出z，通過復數的分子與分母同乘分母的共軛復數，化簡復數通過復數的模求出復數z即可．（Ⅱ）設出復數ω，把復數z代入|2ω-z|≤1，求出復數滿足方程，然后求|ω|的最大值．

解答：解：（Ⅰ）因為（1+3i）z為純虛數，所以設（1+3i）z=ai，（a∈R，a≠0）
則為純虛數，z=

ai

1+3i

=

ai(1-3i)

(1+3i)(1-3i)

=

3a+ai

10

；
∵|z|=

10

．
所以

9a2+a2

10

=

10

，a=±10，
∴z=3+i或z=-3-i．
（Ⅱ）設ω=x+yi（x，y∈R），若z=3+i，則
|2ω-z|=|2x+2yi-3-i|=

(2x-3)2+(2y-1)2

≤1，
即（x-

3

2

）²+（y-

1

2

）²≤

1

4

，以(

3

2

，

1

2

)為圓心，

1

2

為半徑的圓以及內部部分，
所求最大值就是圓心到原點的結論加上半徑，
所以|ω|的最大值為

1+ 10

2

，
同理當z=-3-i時，|ω|的最大值為

1+ 10

2

．

點評：本題是中檔題，考查復數的基本運算，復數的模的求法，復數滿足的軌跡方程，考查轉化思想，計算能力．