Question

（2012•莆田模擬）如圖，F是拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點，A是拋物線E上任意一點．現給出下列四個結論：
①以線段AF為直徑的圓必與y軸相切；
②當點A為坐標原點時，|AF|為最短；
③若點B是拋物線E上異于點A的一點，則當直線AB過焦點F時，|AF|+|BF|取得最小值；
④點B、C是拋物線E上異于點A的不同兩點，若|AF|、|BF|、|CF|成等差數列，則點A、B、C的橫坐標亦成等差數列．
其中正確結論的個數是（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：①設A的坐標，求出圓心坐標，可得圓心到y軸的距離，圓的半徑，即可判斷以線段FA為直徑的圓與y軸相切；
②利用拋物線的定義得出|AF|=|x+

p

2

|，從而可得當點A為坐標原點時，|AF|為最短；
③設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AF|+|BF|=x₁+x₂+p，顯然x₁+x₂=0，即A、B關于x軸對稱時，|AF|+|BF|取得最小值；
④設點A、B、C的橫坐標，利用|AF|、|BF|、|CF|成等差數列，根據拋物線的定義，即可得到結論．

解答：解：①由已知拋物線y²=-2px（p＞0）的焦點F（-

p

2

，0），設A（x₁，y₁），則圓心坐標為（

2x1-p

4

，

y1

2

），∴圓心到y軸的距離為

p-2x1

4

，圓的半徑為

|FA|

2

=

1

2

（

p

2

-x₁），∴以線段FA為直徑的圓與y軸相切．故①正確；
②設A（x，y），則|AF|=|x+

p

2

|，∴x=0時，即當點A為坐標原點時，|AF|為最短，②正確；
③設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AF|+|BF|=x₁+x₂+p，顯然x₁+x₂=0，即A、B關于x軸對稱時，|AF|+|BF|取得最小值，故③不正確；
④設點A、B、C的橫坐標分別為a，b，c，則∵|AF|、|BF|、|CF|成等差數列，∴2|BF|=|AF|+|CF|，∴2（b+p）=（a+p）+（c+p），∴2b=a+c，∴點A、B、C的橫坐標亦成等差數列，故④正確．
綜上知，正確結論的個數是3個
故選C．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到直線與圓的位置關系及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．