Question

若函數為定義域上的單調函數,且存在區間(其中,使得當時, 的取值范圍恰為,則稱函數是上的正函數,區間叫做函數的等域區間.
（1）已知是上的正函數，求的等域區間；
（2）試探求是否存在，使得函數是上的正函數？若存在，請求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在，

試題分析：（1）因為是上的正函數，根據正函數的定義建立方程組，解之可求出的等域區間；
（2）根據函數函數是上的正函數建立方程組，消去，求出的取值范圍，轉化成關于的方程在上有實數解進行求解．
試題解析：(1)
(2)假設存在，使得函數是上的正函數，且此時函數在上單調遞減
存在使得： （*）
兩式相減得，代入上式：
即關于的方程在上有解
方法①參變分離：即
令，所以
實數的取值范圍為
方法②實根分布：令，即函數的圖像在內與軸有交點，，解得
方法③ ：（*）式等價于方程在上有兩個不相等的實根