Question

已知函數f（x）=（x²-

2

a

x+

1

a

）e^ax（a＞0）
（1）求曲線f（x）在點A（0，f（0））處的切線方程；
（2）討論函數f（x）的單調性；
（3）是否存在實數a∈（1，2），使f（x）＞

2

a2

當x∈（0，1）時恒成立？若存在，求出實數a；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數求出在A點處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）先對函數y=f（x）進行求導，然后令導函數大于0（或小于0）求出x的范圍，根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，f′（x）＜0求得的區間是單調減區間，即可得到答案．
（3）先將原來的恒成立問題轉化為研究f（x）在區間上的最值問題，先求出函數的極值，比較極值和端點處的函數值的大小，最后確定出最小值．

解答：解（1）∵a＞0，f（x）=（x²-

2

a

x+

1

a

）e^ax，
∴f′（x）=（2x-

2

a

）e^ax+（x²-

2

a

x+

1

a

）•a•e^ax=（2x-

2

a

+ax²-2x+1）e^ax=（ax²+

a-2

a

）e^ax，（2分）
于是f（0）=

1

a

，f′（0）=

a-2

a

，所以曲線y=f（x）在點A（0，f（0））處的切線方程為y-

1

a

=

a-2

a

（x-0），
即（a-2）x-ay+1=0．（4分）
（2）∵a＞0，e^ax＞0，∴只需討論ax²+

a-2

a

的符號．（5分）
ⅰ）當a＞2時，ax²+

a-2

a

＞0，這時f′（x）＞0，所以函數f（x）在（-∞，+∞）上為增函數．
ⅱ）當a=2時，f′（x）=2x²e^2x≥0，函數f（x）在（-∞，+∞）上為增函數．（6分）
ⅲ）當0＜a＜2時，令f′（x）=0，解得x₁=-

2-a

a

，x₂=

2-a

a

．
當x變化時，f'（x）和f（x）的變化情況如下表：

∴f（x）在（-∞，-

2-a

a

），（

2-a

a

，+∞）為增函數，f（x）在（-

2-a

a

，

2-a

a

）為減函數．（9分）
（3）當a∈（1，2）時，

2-a

a

∈（0，1）．由（2）知f（x）在（0，

2-a

a

）上是減函數，在（

2-a

a

，1）上是增函數，故當x∈（0，1）時，f（x）_min=f（

2-a

a

）=

2

a2

（1-

2-a

）e

2-a

，所以f（x）＞

2

a2

當x∈（0，1）時恒成立，等價于（1-

2-a

）e

2-a

＞1恒成立．當a∈（1，2）時，

2-a

∈（0，1），設g（t）=（1-t）e^t，t∈（0，1），則g′（t）=e^t-e^t-te^t＜0，表明g（t）在（0，1）上單調遞減，于是可得g（t）∈（0，1），即a∈（1，2）時（1-

2-a

）e

2-a

＜1恒成立，因此，符合條件的實數a不存在．（14分）

點評：考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，解答的關鍵是會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．