Question

【題目】已知函數的圖象在點處的切線為，若函數滿足（其中為函數的定義域，當時，恒成立，則稱為函數的“轉折點”，已知函數在區間上存在一個“轉折點”，則的取值范圍是

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據已知函數，求出切線方程，構造函數，求導，根據導數判斷單調性，找出其轉折點，并討論的取值范圍。

由題可得，則在點處的切線的斜率，，

所以函數的圖象在點處的切線方程為：，

即切線，

令，

則，且

，且，

，

（1）當時，，則在區間上單調遞增，所以當，，當，，則在區間上單調遞減，，在上單調遞增，

所以當時，，不滿足題意，舍去，

（2）當時， （），則在區間上單調遞增，所以當，，當，，則在區間上單調遞減，，在上單調遞增，，所以當時，，不滿足題意，舍去，

（3）當，（），則在區間上單調遞增，取，則，所以在區間上單調遞增，，當時，恒成立，故為函數在區間上的一個“轉折點”，滿足題意。

（4）當，令，解得：，且,則在區間上單調遞減，在上單調遞增，取，故在上恒成立，則在區間上單調遞增，當時，，則當，，則，所以為函數在區間上的一個“轉折點”，滿足題意。

（5）當，（），則在區間上單調遞減，取，則，所以在區間上單調遞減，，當時，恒成立，故為函數在區間上的一個“轉折點”，滿足題意。

（6）當時， （），則在區間上單調遞減，所以當，，當，，則在區間上單調遞增，，在上單調遞減，

所以當時，，不滿足題意，舍去，

綜述所述：實數的取值范圍為，

故答案選B