Question

橢圓C:  +=1(a>b>0)的離心率e=,a+b=3.

(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,A,B,D是橢圓C的頂點,P是橢圓C上除頂點外的任意一點,直線DP交x軸于點N,直線AD交BP于點M,設BP的斜率為k,MN的斜率為m.證明2m-k為定值.

Answer 1

(1) +y²=1   (2)見解析

(1)解:因為e==,
所以a=c,b=c.
代入a+b=3,
得c=,a=2,b=1.
故橢圓C的方程為+y²=1.
(2)證明:因為B(2,0),P不為橢圓頂點,
則直線BP的方程為y=k(x-2)（k≠0,k≠±）,          ①
把①代入+y²=1,
解得P.
直線AD的方程為y=x+1.②
①與②聯立解得M.
由D(0,1),P，N(x,0)三點共線知
=,
解得N.
所以MN的斜率為m=
=
=,
則2m-k=-k=(定值).