Question

【題目】已知向量，函數，

.

（1）當時，求的值；

（2）若的最小值為，求實數的值；

（3）是否存在實數，使函數，有四個不同的零點？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在實數m滿足條件，且其范圍為。

【解析】

（1）首先由平面向量數量積的坐標運算求得函數的解析式，然后求解時的值即可；

（2）由題意可得2cos2x﹣2mcosx，換元后結合二次函數的性質分類討論求解實數的值即可；

（3）令求解的值，據此求得關于的不等式，求解不等式可得實數m的取值范圍是．

（1）=（cos，sin）（cos，﹣sin）

=coscos﹣sinsin=cos（+）=cos2x，

當m=0時，f（x）=+1=cos2x+1，

則f（）=cos（2×）+1=cos+1=；

（2）∵x∈[﹣，]，

∴|+|===2cosx，

則f（x）=﹣m|+|+1=cos2x﹣2mcosx+1=2cos2x﹣2mcosx，

令t=cosx，則≤t≤1， 則y=2t2﹣2mt，對稱軸t=，

①當＜，即m＜1時，

當t=時，函數取得最小值此時最小值y=﹣m=﹣1，得m=（舍），

②當≤≤1，即m＜1時，

當t=時，函數取得最小值此時最小值y=﹣=﹣1，得m=，

③當＞1，即m＞2時，

當t=1時，函數取得最小值此時最小值y=2﹣2m=﹣1，得m=（舍），

綜上若f（x）的最小值為﹣1，則實數．

（3）令g（x）=2cos2x﹣2mcosx+m2=0，得cosx=或cosx=，

∴方程cosx=或在x∈[﹣，]上有四個不同的實根，

則，得，則≤m＜，

即實數m的取值范圍是．