Question

（本小題12分）在直三棱柱（側棱垂直底面）中，，．

（Ⅰ）若異面直線與所成的角為，求棱柱的高；
（Ⅱ）設是的中點，與平面所成的角為，當棱柱的高變化時，求的最大值．

Answer 1

(1)1(2)

試題分析：解：建立如圖2所示的空間直角坐標系，設，則有

，，，，
，，.                       ……… 2分
（Ⅰ）因為異面直線與所成的角，所以，
即，得，解得.              ………… 6分
（Ⅱ）由是的中點，得，于是.
設平面的法向量為，于是由，，可得
 即 可取， ………… 8分
于是.而. 

令，………………………………10分
因為，當且僅當，即時，等號成立.
所以，
故當時，的最大值.               ………………1 2分
點評：對于幾何體中的高的求解，可以借助于勾股定理來得到，同時對于線面角的求解，一般分為三步驟：先作，二證，三解。這也是所有求角的一般步驟，屬于中檔題。