Question

已知(x

x

+

1

3 x

)n的展開式中，前三項的二項式系數之和為37．
（1）求x的整數次冪的項；
（2）展開式中第幾項的二項式系數大于相鄰兩項的二項式系數，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）據前三項的二項式系數之和為37，求出n；再利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數為整數得到x的整數次冪的項
（2）據二項展開式中間項的二項式系數最大，再利用組合數公式證明．

解答：解：（1）(x

x

+

1

3 x

)n展開式的前三項的二項式系數之和為
C_n⁰+C_n¹+C_n²=37
解得n=8
∴(x

x

+

1

3 x

)n=(x

x

+

1

3 x

)8的展開式的通項為
Tr+1=

C

r 8

 (x

x

)8-r(

1

3 x

)r=

C

r 8

x12-

11r

6

當r=0，6時，x的指數為整數
∴x的整數次冪的項有x¹²，28x
（2）展開式共有9項
據展開式中間項的二項式系數最大
故展開式第5項的二項式系數大于相鄰兩項的二項式系數
證明：∵展開式第5項的二項式系數為

C

4 8

=

8×7×6×5

1×2×3×4

=70
展開式第4項的二項式系數為C₈³
展開式第6項的二項式系數為C₈⁵
∵

C

5 8

=

C

3 8

=

8×7×6

1×2×3

=56＜70
故有展開式中第5項的二項式系數大于相鄰兩項的二項式系數．

點評：本題考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具；考查二項式系數的性質；考查組合數公式．