Question

下列結論：
①如果一條直線和一個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在這個平面內的射影垂直；
②定義運算

.

a c b d

.

=ad-bc，復數z滿足

.

z i 1 i

.

=1+i，則復數z的模為

5

；
③向量

a

，有|

a

|²=

a

²；類比復數z，有|z|²=z²；
④滿足條件|z+i|+|z-i|=2的復數z在復平面上對應點的軌跡是橢圓．
真命題的序號是

②

．

Answer 1

分析：①通過舉直線不在平面內的反例說明其不正確；
②直接利用定義列式求z，則z的模可求；
③通過舉反例說明其不正確；
④由-i和i對應點的長度是2，說明滿足條件|z+i|+|z-i|=2的復數z在復平面上對應點的軌跡是兩復數連接的線段．

解答：解：命題①中如果直線不在平面內，雖然滿足和一個平面的一條斜線垂直，它和這條斜線在這個平面內的射影不一定垂直；
命題②由定義運算可知，若

.

z i 1 i

.

=1+i，即z•i-i=1+i，∴z=

1+2i

i

=

-i(1+2i)

-i2

=2-i，∴|z|=

5

；
命題③，如z=i，則|z|²=1，z²=-1，∴命題③不正確；
命題④，滿足條件|z+i|+|z-i|=2的復數z在復平面上對應點的軌跡是一條線段．
∴真命題只有②．
故答案為②．

點評：本題考查了命題的真假判斷，考查了空間直線與直線的位置關系，考查了類比推理及復數的模，是基礎題．