Question

已知函數（，為自然對數的底數）.
（1）求函數的最小值；
（2）若≥0對任意的恒成立，求實數的值；
（3）在（2）的條件下，證明：

Answer 1

（1）其最小值為（2）（3）由累加即可得證.

試題分析：（1）由題意，
由得.
當時, ；當時，.
∴在單調遞減，在單調遞增.
即在處取得極小值，且為最小值，
其最小值為     
（2）對任意的恒成立，即在上，.
由（1），設，所以.
由得.
易知在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
∴ 在處取得最大值，而.
因此的解為，∴.     
（3）由（2）知，對任意實數均有，即.
令 ，則.
∴ .
∴
   
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查恒成立問題，同時考查不等式的證明，解題的關鍵是正確求導數，確定函數的單調性．