Question

試求常數m的范圍，使曲線y=x²的所有弦都不能被直線y=m（x-3）垂直平分．

Answer 1

分析：先求出曲線y=x²的存在弦能被直線y=m（x-3）垂直平分時的m的范圍，進而得到曲線y=x²的所有弦都不能被直線y=m（x-3）垂直平分的m的范圍．

解答：解：設拋物線上存在兩點(x1，

x

2 1

)，(x2，

x

2 2

)關于直線y=m（x-3）對稱（m≠0），
則

x 2 1 + x 2 2 2 =m( x1+x2 2 -3) x 2 1 - x 2 2 x1-x2 =- 1 m

，
所以

x 2 1 +x 2 2 =m(x1+x2-6) x1+x2=- 1 m

．
消去x₂，得2

x

2 1

+

2

m

x1+

1

m2

+6m+1=0．
因為x₁∈R，所以△=(

2

m

)2-8(

1

m2

+6m+1)＞0．
所以（2m+1）（6m²-2m+1）＜0．所以m＜-

1

2

．
即當m＜-

1

2

時，拋物線上存在兩點關于直線y=m（x-3）對稱．
而原題要求所有弦都不能被直線垂直平分，那么所求的范圍為m≥-

1

2

．

點評：本題考查了拋物線上是否存在兩點關于某一條直線對稱的問題，考查了分析問題和解決問題的能力、推理能力和計算能力．