Question

設(shè)向量

e1

，

e2

滿足|

e1

|=2，|

e2

|=1且

e1

，

e2

的夾角為

π

3

，若向量2t

e1

+7

e2

與

e1

+t

e2

的夾角為非鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

（-∞，-7）∪（-

1

2

，

14

2

）∪（

14

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：題干錯(cuò)誤：向量2t

e1

+7

e2

與

e1

+t

e2

的夾角為非鈍角，可能是：向量2t

e1

+7

e2

與

e1

+t

e2

的夾角為鈍角，

由題意可得

e1

•

e2

=1，（2t

e1

+7

e2

）•（

e1

+t

e2

）＜0，且向量2t

e1

+7

e2

與

e1

+t

e2

不共線．由（2t

e1

+7

e2

）•（

e1

+t

e2

）＜0 求得 t的范圍；
由

2t

1

≠

7

t

，解得t的范圍，再把這2個(gè)t的范圍取交集，即得所求．

解答：解：由題意可得

e1

•

e2

=2×1×cos

π

3

=1，
由于向量2t

e1

+7

e2

與

e1

+t

e2

的夾角為鈍角，可得（2t

e1

+7

e2

）•（

e1

+t

e2

）＜0，且向量2t

e1

+7

e2

與

e1

+t

e2

不共線．
由（2t

e1

+7

e2

）•（

e1

+t

e2

）＜0 可得 2t²+15t+7＜0，解得 t＜-7，或 t＞-

1

2

．
再由向量2t

e1

+7

e2

與

e1

+t

e2

不共線，可得

2t

1

≠

7

t

，解得 t≠±

14

2

．
綜上可得，實(shí)數(shù)t的取值范圍是 （-∞，-7）∪（-

1

2

，

14

2

）∪（

14

2

，+∞），
故答案為 （-∞，-7）∪（-

1

2

，

14

2

）∪（

14

2

，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，用兩個(gè)向量的數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．